Question

如圖，在 Rt△AOB中，，斜邊AB=4，D是AB的中點(diǎn)．現(xiàn)將 Rt△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐體，點(diǎn)C為圓錐體底面圓周上的一點(diǎn)，且∠BOC=90°．
（1）求該圓錐體的體積；
（2）求異面直線AO與CD所成角的大�。�

Answer 1

解：（1）∵在 Rt△AOB中，，斜邊AB=4，
∴OC=2，AO=2，
該圓錐體的體積=．
（2）解法一、設(shè)OB中點(diǎn)為E，連接CE、DE，
則設(shè)異面直線AO與CD所成角即為∠CDE．
由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，
于是DE⊥CE．
又，
，
∴．
即異面直線AO與CD所成角的大小為．
解法二：以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），，C（2，0，0），，
∴，
，
設(shè)異面直線AO與CD所成角為θ，
則．
∴異面直線AO與CD所成角的大小為．
分析：（1）在 Rt△AOB中，，斜邊AB=4，所以O(shè)C=2，AO=2，該圓錐體的體積=．
（2）解法一、設(shè)OB中點(diǎn)為E，連接CE、DE，則設(shè)異面直線AO與CD所成角即為∠CDE．由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，于是DE⊥CE．又，．由此能求出異面直線AO與CD所成角的大小．
解法二：以O(shè)C為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)異面直線AO與CD所成角為θ，則．由此能求出異面直線AO與CD所成角的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐體的體積和兩條異面直線所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解兩條異面直線所成角的大小．