Question

3．如圖，在五棱錐F-ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．
（1）已知點(diǎn)G在線段FD上，確定G的位置，使得AG∥平面BCF；
（2）點(diǎn)M，N分別在線段DE，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，D與F恰好重合，求直線BM與平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)G為靠近D的三等分點(diǎn)，證明平面AGH∥平面BCF，而AG?平面AGH，可得AG∥平面BCF；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，利用向量方法求直線BM與平面BEF所成角的正弦值．

解答 解：（1）點(diǎn)G為靠近D的三等分點(diǎn)，…（1分）
在線段CD取一點(diǎn)H，使得CH=2，連結(jié)AH，GH…（2分）
∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD．
又AB=CH，∴四邊形ABCH為平行四邊形，∴AH∥BC，
∵點(diǎn)G為靠近D的三等分點(diǎn)，∴FG：GD=CH：HD=2：1，∴GH∥CF，
∵AH∩GH=H，∴平面AGH∥平面BCF，而AG?平面AGH，∴AG∥平面BCF…（5分）
（2）取AE的中點(diǎn)K，連接FK，∵AF=EF，∴FK⊥AE，又平面AEF⊥平面ABCDE，
∴FK⊥平面ABCDE…（6分）
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則$D（{3，3，0}），C（{3，0，0}），E（{1，3，0}），F(xiàn)（{\frac{1}{2}，\frac{5}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

設(shè)EM=m（0＜m＜2），則M（1+m，3，0）…（7分）
∵翻折后，D與F重合，∴DM=FM，又FM²=KM²+FK²，
故${（{m-2}）^2}={（{m+\frac{1}{2}}）^2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{2}⇒m=\frac{3}{5}$，從而，$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{8}{5}$，3，0）…（8分）
$\overrightarrow{BE}$=（1，3，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設(shè)n=（x，y，z）為平面BEF的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=3，則$n=（{3，-1，\sqrt{2}}）$…（10分）
設(shè)直線BM與平面BEF所成角為α，則sinα=$\frac{\frac{9}{5}}{\frac{17}{5}×2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{34}$，
故直線BM與平面BEF所成角的正弦值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{34}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查平面與平面平行、線面平行的判定，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．