Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，則函數(shù)f（x）過點（2，1）的切線方程為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)切點在函數(shù)上，設(shè)切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求得切線的斜率，寫出切線方程，再根據(jù)切線過點（2，1），求出t的值，從而求得切線方程．

解答： 解：∵f（x）=

1

2

x³-

3

2

x，∴f′（x）=

3

2

x²-

3

2

，
設(shè)切點坐標為（t，

1

2

t³-

3

2

t），
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率k=f′（t）=

3

2

t²-

3

2

，
∴由直線方程的點斜式可得，切線方程為y-（

1

2

t³-

3

2

t）=（

3

2

t²-

3

2

）（x-t），
∵切線過點（2，1），
∴1-（

1

2

t³-

3

2

t）=（

3

2

t²-

3

2

）（2-t），
∴t³-3t²+4=0，即（t-2）²（t+1）=0，
∴t=-1或t=2，
∴切點為（-1，1），斜率為0，或切點為（2，

5

2

），斜率為

9

2

，
∴切線方程為y=1或y-

5

2

=

9

2

（x-2），即y=1或9x-2y-16=0．
故答案為：y=1或9x-2y-16=0．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，直線的點斜式方程的運用．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．涉及了三次方程的求解，解方程的關(guān)鍵在于因式分解，轉(zhuǎn)化為二次方程進行求解．屬于中檔題．