Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱長為3cm，側(cè)棱AA₁與底面相鄰兩邊都成60°．
（1）求證：側(cè)面CC₁B₁B是矩形；
（2）求這個棱柱的側(cè)面積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用幾何體的性質(zhì)判斷出AA₁⊥B₁C₁，求解矩形B₁BCC₁的面積為3×4=12即可．
（2）判斷出S 平行四邊形AA1C1C=S 平行四邊形AA1B1B，利用平行四邊形的面積公式即可．

解答： 解：（1）∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱長為3cm
∴如圖所示：
AO⊥面A₁B₁C₁，
連接A₁O延長交B₁C₁，
∵邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱AA₁與底面相鄰兩邊都成60°，
∴E為B₁C₁中點，∠EA₁C₁=30°，
有三角形的性質(zhì)得出：EA₁⊥B₁C₁，AO⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥面A₁AO，
∴AA₁⊥B₁C₁，
∴S矩形B₁BCC₁的面積為3×4=12
（2）S 平行四邊形AA1C1C=S 平行四邊形AA1B1B=4×3×sin60°=6

3

，
∴這個棱柱的側(cè)面積為：12+12

3

．

點評：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，公式，運用平行垂直的定理判斷分析，屬于中檔題．