Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（1）若f（x）是R上的奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f（x）=x²+2x+3．求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若f（3a²-a+1）＞f（a²+3a+7），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由于f（x）是R上的奇函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，利用已知解析式，結(jié)合奇函數(shù)，即可得到f（x）的表達(dá)式；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性，得到二次不等式，解出即可．

解答： 解：（1）由于f（x）是R上的奇函數(shù)，
則當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，則f（-x）=x²-2x+3，又f（-x）=-f（x），
則f（x）=-x²+2x-3，
則f（x）=

x2+2x+3，x＞0 0，x=0 -x2+2x-3，x＜0

；
（2）由二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系可得，
x＞0為增區(qū)間，x＜0也為增區(qū)間，
f（x）在R上遞增，
則f（3a²-a+1）＞f（a²+3a+7），
即為3a²-a+1＞a²+3a+7，
解得，a＞3或a＜-1．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用，考查函數(shù)解析式的求法和不等式的解法，屬于中檔題．