Question

若?x≥1，不等式x+

1

x+1

≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：由于?x≥1，不等式x+

1

x+1

≥a恒成立?(x+

1

x+1

)min≥a，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出．

解答： 解：設f（x）=x+

1

x+1

，x∈[1，+∞）．
f′（x）=1-

1

(x+1)2

=

x(x+2)

(x+1)2

＞0，
∴函數(shù)f（x）=x+

1

x+1

在x∈[1，+∞）上單調遞增．
∴f（x）≥f（1）=

3

2

．
∵?x≥1，不等式x+

1

x+1

≥a恒成立?(x+

1

x+1

)min≥a，
∴a≤

3

2

．
故答案為：a≤

3

2

．

點評：本題考查了導數(shù)研究函數(shù)的單調性、恒成立問題的等價轉化方法，屬于基礎題．