分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為-b≤x−lnx+1x,設(shè)g(x)=x−lnx+1x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=(x−1)((1−a)x−a)x,a<1,
令a1−a=1,得a=12,又令a1−a=0,得a=0,
當(dāng)12<a<1時,f′(x)<0?1<x<a1−a,
此時,f(x)在(0,1)和(a1−a,+∞)內(nèi)遞增,在(1,a1−a)內(nèi)遞減,
當(dāng)a=12時,f′(x)=(x−1)22x,故f(x)在(0,+∞)遞增,
當(dāng)0<a<12時,f′(x)<0,即a1−a<x<1,
此時,f(x)在(0,a1−a)和(1,+∞)遞增,在(a1−a,1)遞減;
當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,解得:x>1,
此時f(x)在(1,+∞)內(nèi)遞增,在(0,1)內(nèi)遞減;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,bx+1≥f(x),即-b≤x−lnx+1x,
又設(shè)g(x)=x−lnx+1x,則g′(x)=lnx−2x2,
∴g(x)在(0,e2)內(nèi)遞減,在(e2,+∞)遞增,
g(x)min=g(e2)=1-1e2,
∴?x>0,bx+1≥f(x),即-b≤g(x)min=1-1e2,
∴b的取值范圍是b≥1e2-1.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.
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