Question

8．已知圓C的普通方程為（x-1）²+y²=3，過點(diǎn)M（1，2）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角）．
（1）若直線l被圓C截得的弦AB的長為2，求直線l的傾斜角；
（2）求過點(diǎn)M引圓C的切線的傾斜角．

Answer 1

分析 （1）將圓C的普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，表示出|AB|的長，求出直線的傾斜角即可；
（2）直線和圓相切時(shí)，得到（4sinα）²-4=0，求出α的值即可．

解答 解：（1）將x=1+tcosα，y=2+tsinα，代入（x-1）²+y²=3，
得（tcosα）²+（2+tsinα）²=3，即t²+4tsinα+1=0．                          （2分）
設(shè)這個(gè)方程的根為t₁，t₂，則$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（-4sinα）}^2}-4}=2\sqrt{4{{sin}^2}α-1}$．           （4分）
∵|AB|=2，∴$4{sin^2}α-1=1⇒sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中0≤α＜π．                （5分）
∴${α_1}=\frac{π}{4}，{α_2}=\frac{3π}{4}$．                                                       （6分）
故直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．                                               （7分）
（2）當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，方程t²+4tsinα+1=0的△=0，
即（4sinα）²-4=0．（9分）
∴${sin^2}α=\frac{1}{4}⇒sinα=\frac{1}{2}$，其中0≤α＜π．                                   （10分）
∴${α_1}=\frac{π}{6}，{α_2}=\frac{5π}{6}$．                                                   （11分）
故直線l的傾斜角為$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．                                           （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，考查直線和圓的位置關(guān)系以及三角函數(shù)求值問題，是一道中檔題．