Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求二面角D-AC-E的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面ACE．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求二面角D-AC-E的余弦值；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理，設(shè)

PF

=λ

PC

，λ∈[0，1]，建立條件關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD，AP分別
為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），C（1，1，0），E（0，

2

3

，

1

3

），
∴

AC

=（1，1，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
∵PA⊥平面ABCD
∴

AP

為平面ABCD的法向量，

AP

=（0，0，1），
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為

n

=（a，b，c），
得

n • AC =a+b=0 n • AE = 2 3 b+ 1 3 c=0

令c=2，則b=-1，a=1，
∴

n

=（1，-1，2），
則cos＜

AP

，

n

＞=

n • AP

| n |•| AP |

=

6

3

，
即所求二面角的余弦值為

6

3

．
（2）設(shè)

PF

=λ

PC

，λ∈[0，1]，
則

PF

=λ

PC

=（λ，λ，-λ），
∵B（1，0，0），P（0，0，1），
∴

BP

=（-1，0，1），

BF

=

BP

+

PF

=（λ-1，λ，1-λ），
若EF∥平面ACE，則

BF

⊥

n

，
即

BF

•

n

=0，則（λ-1，λ，1-λ）•（1，-1，2）=0，
解得λ=

1

2

，
即存在滿足題意的點(diǎn)，當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面ACE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二面角的求解，以及線面平行的應(yīng)用，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法是解決本題的關(guān)鍵．