Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0且a_n+1=

1

2-an

．n∈N^*．
（1）求證數(shù)列{

1

1-an

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1- an+1

n

，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，證明：S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把an+1=

1

2-an

代入

1

1-an+1

-

1

1-an

，能推導(dǎo)出

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，由此能證明數(shù)列{

1

1-an

}是公差為1的等差數(shù)列，從而能求出an=1-

1

n

．
（2）由bn=

1- an+1

n

=

n+1 - n

n+1 • n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能證明S_n＜1．

解答： （1）解：∵an+1=

1

2-an

，
∴

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1

1- 1 2-an

-

1

2-an

=

2-an

1-an

-

1

2-an

=1，
∴

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，
∴數(shù)列{

1

1-an

}是公差為1的等差數(shù)列．
又

1

1-a1

=1，  故

1

1-an

=n，
所以an=1-

1

n

．
（2）證明：由（1）得bn=

1- an+1

n

=

n+1 - n

n+1 • n

=

1

n

-

1

n+1

，Sn=

n

k=1

bk=

n

k=1

(

1

k

-

1

k+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∴S_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查等差數(shù)列的證明，證明數(shù)列為等差數(shù)列通常利用等差數(shù)列的定義證明，遇到與數(shù)列的和有關(guān)的不等式可先考慮能否求和再證明．