Question

設(shè)0＜α＜

π

2

，a是大于0的常數(shù)，函數(shù)F（α）=

1

cosα

+

a

1-cosα

，若F（α）≥16恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、[1，+∞）
• B、[4，+∞）
• C、（9，+∞）
• D、[9，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：三角函數(shù)的求值

分析：依題意知，cosα＞0，1-cosα＞0，又cosα+（1-cosα）=1，a＞0，利用基本不等式可得F（α）=

1

cosα

+

a

1-cosα

=

(1-cosα)+cosα

cosα

+

a[(1-cosα)+cosα]

1-cosα

=1+a+

1-cosα

cosα

+

acosα

1-cosα

≥1+a+2

a

，解不等式1+a+2

a

≥16即可求得答案．

解答： 解：∵0＜α＜

π

2

，
∴cosα＞0，1-cosα＞0；
又cosα+（1-cosα）=1，a＞0，
∴F（α）=

1

cosα

+

a

1-cosα

=

(1-cosα)+cosα

cosα

+

a[(1-cosα)+cosα]

1-cosα

=1+a+

1-cosα

cosα

+

acosα

1-cosα

≥1+a+2

1-cosα cosα • acosα 1-cosα

=1+a+2

a

，
∴F（α）_min=1+a+2

a

，又F（α）≥16恒成立，
∴1+a+2

a

≥16，
解得：

a

≥3或

a

≤-5（舍去），
∴a≥9．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．