在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(-2,0)、A2(2,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,a),N2(0,b),且ab=3.

(1)求直線A1N1A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程;

(2)已知點(diǎn)F2(1,0),設(shè)直線lykxm與(1)中的軌跡M交于P、Q兩點(diǎn),直線F2P、F2Q的傾斜角為αβ,且αβ=π,求證:直線l過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).


 (1)依題意知直線A1N1的方程為:y(x+2),①

直線A2N2的方程為:y=-(x-2),②

設(shè)R(xy)是直線A1N1A2N2交點(diǎn),①×②得y2=-(x2-4).

ab=3代入整理得=1.

∵點(diǎn)N1、N2不與原點(diǎn)重合,

∴點(diǎn)A1(-2,0)、A2(2,0)不在軌跡M上,

∴軌跡M的方程為=1(x≠±2).

(2)由題意知,直線l的斜率存在且不為零,

聯(lián)立方程消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,設(shè)P(x1y1)、Q(x2y2),則

由已知αβ=π,得kF2PkF2Q=0,

=0,

化簡(jiǎn),得2kx1x2+(mk)(x1x2)-2m=0,

將(*)式代入,得2k×-2m=0,

整理得m=-4k.

∴直線l的方程為yk(x-4),

∴直線l過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).

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已知a>0,b>0,ab的等比中項(xiàng)是1,且mb,na,則mn的最小值是(  )

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