在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點A1(-2,0)、A2(2,0),再取兩個動點N1(0,a),N2(0,b),且ab=3.
(1)求直線A1N1與A2N2交點的軌跡M的方程;
(2)已知點F2(1,0),設(shè)直線l:y=kx+m與(1)中的軌跡M交于P、Q兩點,直線F2P、F2Q的傾斜角為α、β,且α+β=π,求證:直線l過定點,并求該定點的坐標(biāo).
(1)依題意知直線A1N1的方程為:y=(x+2),①
直線A2N2的方程為:y=-(x-2),②
設(shè)R(x,y)是直線A1N1與A2N2交點,①×②得y2=-(x2-4).
將ab=3代入整理得+
=1.
∵點N1、N2不與原點重合,
∴點A1(-2,0)、A2(2,0)不在軌跡M上,
∴軌跡M的方程為+
=1(x≠±2).
(2)由題意知,直線l的斜率存在且不為零,
聯(lián)立方程消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則
由已知α+β=π,得kF2P+kF2Q=0,
∴=0,
化簡,得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,
將(*)式代入,得2k×-2m=0,
整理得m=-4k.
∴直線l的方程為y=k(x-4),
∴直線l過定點,該定點的坐標(biāo)為(4,0).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是( )
A.1或3 B.1或5
C.3或5 D.1或2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
過點(1,3)作直線l,若經(jīng)過點(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,則可作出的直線l的條數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
動點A在圓x2+y2=1上移動時,它與定點B(3,0)連線段的中點的軌跡方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(x+)2+y2=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知矩形ABCD的對角線交于點P(2,0),邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0,點(-1,1)在邊AD所在的直線上.
(1)求矩形ABCD的外接圓的方程;
(2)已知直線l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求證:直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交,并求出相交弦長最短時的直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知動圓的圓心C在拋物線x2=2py(p>0)上,該圓經(jīng)過點A(0,p),且與x軸交于兩點M、N,則sin∠MCN的最大值為________.
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