在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點A1(-2,0)、A2(2,0),再取兩個動點N1(0,a),N2(0,b),且ab=3.

(1)求直線A1N1A2N2交點的軌跡M的方程;

(2)已知點F2(1,0),設(shè)直線lykxm與(1)中的軌跡M交于P、Q兩點,直線F2PF2Q的傾斜角為α、β,且αβ=π,求證:直線l過定點,并求該定點的坐標(biāo).


 (1)依題意知直線A1N1的方程為:y(x+2),①

直線A2N2的方程為:y=-(x-2),②

設(shè)R(x,y)是直線A1N1A2N2交點,①×②得y2=-(x2-4).

ab=3代入整理得=1.

∵點N1N2不與原點重合,

∴點A1(-2,0)、A2(2,0)不在軌跡M上,

∴軌跡M的方程為=1(x≠±2).

(2)由題意知,直線l的斜率存在且不為零,

聯(lián)立方程消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則

由已知αβ=π,得kF2PkF2Q=0,

=0,

化簡,得2kx1x2+(mk)(x1x2)-2m=0,

將(*)式代入,得2k×-2m=0,

整理得m=-4k.

∴直線l的方程為yk(x-4),

∴直線l過定點,該定點的坐標(biāo)為(4,0).

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