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9.已知正數(shù)x,y滿足x+22xy≤λ(x+y)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為2.

分析 方法一:利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,利用換元法以判別式法求出即可.
方法二,直接根據(jù)基本不等式即可求出.

解答 解:方法一:∵正數(shù)x,y滿足x+22xy≤λ(x+y)恒成立,
∴λ≥x+22xyx+y=1+22yx1+yx恒成立,
設(shè)t=yx,t>0
則函數(shù)等價(jià)為y=1+22t1+t2,
∴yt2-22t+y-1=0,
∴方程有兩個(gè)正根,
{△=84yy102y0y1y0,
解得1<y≤2,
∴λ≥2,
故實(shí)數(shù)λ的最小值為2,
方法二:∵正數(shù)x,y滿足x+22xy≤λ(x+y)恒成立,
∴λ≥x+22xyx+y
∵22xy≤x+2y
x+22xyx+yx+x+2yx+y=2,
∴λ≥2,
故實(shí)數(shù)λ的最小值為2,
故答案為:2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題,利用參數(shù)分離法以及換元法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.

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