Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D為AC的中點(diǎn)，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求證：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)為O，連接OD，OB₁，證明AB⊥平面B₁OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB₁，因?yàn)锳B∩BB₁=B，即可證明平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACC₁A₁的法向量，即可求直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面BB₁D的法向量，平面B₁DC的法向量，即可求二面角B-B₁D-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)為O，連接OD，OB₁．
因?yàn)锽₁B=B₁A，所以O(shè)B₁⊥AB．
又AB⊥B₁D，OB₁∩B₁D=B₁，
所以AB⊥平面B₁OD，
因?yàn)镺D?平面B₁OD，所以AB⊥OD．…（2分）
由已知，BC⊥BB₁，又OD∥BC，
所以O(shè)D⊥BB₁，因?yàn)锳B∩BB₁=B，
所以O(shè)D⊥平面ABB₁A₁．
又OD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁．     …（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OB，OD，OB₁兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OB

的方向?yàn)閤軸的方向，|

OB

|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
由題設(shè)知B1(0，0，

3

)，D（0，1，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），C1(0，2，

3

)．
則

B1D

=(0，1，-

3

)，

AC

=(2，2，0)，

CC1

=(-1，0，

3

)．
設(shè)平面ACC₁A₁的法向量為

m

=（x，y，z），則

m

•

AC

=0，

m

•

CC1

=0，即x+y=0，-x+

3

z=0，
可取

m

=(

3

，-

3

，1)．…（6分）
設(shè)直線B₁D與平面ACC₁A₁所成角為θ，
故sinθ=

21

7

．                                    …（7分）
（Ⅲ）解：由題設(shè)知B（1，0，0），
可取平面BB₁D的法向量

n1

=(

3

，

3

，1)，…（8分）
平面B₁DC的法向量

n2

=(-

3

，

3

，1)，…（9分）
故cos＜

n1

，

n2

＞=

1

7

，…（11分）
所以二面角B-B₁D-C的余弦值為

1

7

．             …（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線與平面所成角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．