Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

（1）當x∈[

π

6

，

5π

6

]時，求f（x）的取值范圍；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，在將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）x∈[0，4π]的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）為偶函數(shù)求出φ，由周期性求得ω，可得函數(shù)的解析式，從而求得f（x）的取值范圍；
（2）由條件利用函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）=2cos（

1

2

x-

π

3

），再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，可得 φ-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即φ=kπ+

2π

3

∴φ=

2π

3

．
由函數(shù)y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，可得

2π

ω

=2×

π

2

=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
∵x∈[

π

6

，

5π

6

]，有2x∈[

π

3

，

5π

3

]
∴-1≤cos2x≤

1

2

．
∴-2≤2cos2x≤1
∴f（x）的取值范圍是[-2，1]．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，可得函數(shù)y=2cos2（x-

π

6

）=2cos（2x-

π

3

）的圖象；
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）=2cos（

1

2

x-

π

3

）的圖象．
令2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π，k∈z，求得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基本知識的考查．