【題目】已知實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;
(2)當(dāng)時,判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明;
(3)求實(shí)教的范圍,使得對于區(qū)間上的任意三個實(shí)數(shù),都存在以為邊長的三角形.
【答案】(1). (2)x∈[0,1)時,f(x)遞增;x∈(﹣1,0]時,f(x)遞減;
(3).
【解析】
(1)判a=0時,化簡函數(shù),即可求f(x)的最小值;
(2)先化簡函數(shù),得出函數(shù)的單調(diào)性,再利用定義進(jìn)行證明;
(3)換元,原問題等價于求實(shí)數(shù)a的范圍,使得在區(qū)間上,恒有2ymin>ymax.
由題意,f(x)的定義域?yàn)椋ī?/span>1,1),且f(x)為偶函數(shù).
(1)a=0時,
∴x∈(﹣1,1)時,, , ∴的值域?yàn)?/span>.
(2)a=1時,
∴x∈[0,1)時,f(x)遞增;x∈(﹣1,0]時,f(x)遞減;
由于f(x)為偶函數(shù),
∴只對x∈[0,1)時,證明f(x)遞增.
設(shè)0≤x1<x2<1,
∴,得
∴x∈[0,1)時,f(x)遞增成立;同理證明x∈(﹣1,0]時,f(x)遞減;
∴x∈[0,1)時,f(x)遞增;x∈(﹣1,0]時,f(x)遞減;
(3)設(shè),則
∵,
∴,∴
從而原問題等價于求實(shí)數(shù)a的范圍,使得在區(qū)間上,恒有2ymin>ymax.
①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,∴,由2ymin>ymax得,
從而;
②當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴,
由2ymin>ymax得,從而;
③當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴ymin=2,ymax=,
由2ymin>ymax得,從而;
④當(dāng)a≥1時,在上單調(diào)遞減,∴,
由2ymin>ymax得,從而;
綜上,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程為,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的值,并求定點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)(2017·長春市二模)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,平面,,點(diǎn),分別為和中點(diǎn).
(1)求證:直線平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=(弦矢+矢2).弧田(如圖),由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.
按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,弦長等于9米的弧田.
(1)計算弧田的實(shí)際面積;
(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計算所得結(jié)果與(1)中計算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為調(diào)查高三年級學(xué)生的身高情況,按隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生,得到男生身高情況的頻率分布直方圖(圖(1))和女生身高情況的頻率分布直方圖(圖(2)).已知圖(1)中身高在的男生人數(shù)有16人.
(1)試問在抽取的學(xué)生中,男,女生各有多少人?
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,完成下列的列聯(lián)表,并判斷能有多大(百分之幾)的把握認(rèn)為“身高與性別有關(guān)”?
總計 | |||
男生身高 | |||
女生身高 | |||
總計 |
(3)在上述100名學(xué)生中,從身高在之間的男生和身高在之間的女生中間按男、女性別分層抽樣的方法,抽出6人,從這6人中選派2人當(dāng)旗手,求2人中恰好有一名女生的概率.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為且過點(diǎn)橢圓C與軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N(點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求△OMN面積的最大值;
(3)求證:直線AN和直線BM交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為常值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科學(xué)研究證實(shí),二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響.環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸,否則將采取緊急限排措施.已知A市2013年的碳排放總量為400萬噸,通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少10%.同時,因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m萬噸(m>0).
(1)求A市2015年的碳排放總量(用含m的式子表示);
(2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在正常數(shù),使得對一切均成立,則稱是“控制增長函數(shù)”。在以下四個函數(shù)中:①②③④是“控制增長函數(shù)”的有(空格上填入函數(shù)代碼)________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)求證:函數(shù)是增函數(shù);
(2)若函數(shù)在上的值域是(),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若存在,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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