Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠

1

a

）滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1，且使f（x）=2x成立的實數(shù)x只有一個．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=-5-4

an

1-an

，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若c_n=

1

bn+(-1)n

，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求證：S_n＜

3

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由f（x）=

2bx

ax-1

，由題意列出方程解得a、b的值，即可得出結(jié)論；由此能求出f（x）的表達(dá)式．
（2）由b_n+1=2b_n，能夠證明{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求得通項公式；
（3）C_n=

1

2n+(-1)n

得C_2k+C_2k+1=

1

22k+1

+

1

22k+1-1

=

22k+22k+1

22k•22k+1+22k-1

＜

22k+22k+1

22k•22k+1

=

1

22k

+

1

22k+1

，則n為奇數(shù)時，S_n=C₁+（C₂+C₃）+…+（C_n-1+C_n）＜1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

，n為偶數(shù)時，S_n＜S_n+1＜

3

2

，故S_n＜

3

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2bx

ax-1

，∴

f(1)=1 2bx ax-1 =2x僅有一解

∴

2b=a-1 b+1=0

解得a=-1，b=-1，
∴f（x）=

2x

x+1

．
（Ⅱ）證明：∵a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），b_n=-5-4

an

1-an

，
∴b₁=

2 3

1- 2 3

=2，b_n+1=

an+1

1-an+1

=

an 1-an

1- an 1-an

=2•

an

1-an

=2b_n，
∴b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴b_n=2ⁿ．
（Ⅲ）∵b_n=2ⁿ，
∴C_n=

1

2n+(-1)n

∴C_2k+C_2k+1=

1

22k+1

+

1

22k+1-1

=

22k+22k+1

22k•22k+1+22k-1

＜

22k+22k+1

22k•22k+1

=

1

22k

+

1

22k+1

，
∴n為奇數(shù)時，S_n=C₁+（C₂+C₃）+…+（C_n-1+C_n）＜1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

，
n為偶數(shù)時，S_n＜S_n+1＜

3

2

，
綜合以上，S_n＜

3

2

．

點評：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．