Question

我們把在線段上到兩端點距離之比為

5 -1

2

≈0.618的點稱為黃金分割點．類似地，在解析幾何中，我們稱離心率為

5 -1

2

的橢圓為黃金橢圓，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的焦距為2c，則下列四個命題：
①a、b、c成等比數(shù)列是橢圓為黃金橢圓的充要條件；
②若橢圓是黃金橢圓且F₂為右焦點，B為上頂點，A₁為左頂點，則

BA1

•

BF2

=0
③若橢圓是黃金橢圓，直線l過橢圓中心，與橢圓交于點E、F，P為橢圓上任意一點（除頂點外），且PE與PF的斜k_PE、k_PF存在，則k_PE•k_PF為定值．
④若橢圓是黃金橢圓，P、Q為橢圓上任意兩點，M為PQ中點，且PQ與OM的斜率k_PQ與k_OM（O為坐標(biāo)原點）存在，則k_PQ•k_OM為定值．
⑤橢圓四個頂點構(gòu)成的菱形的內(nèi)切圓過橢圓的焦點是橢圓為黃金橢圓的充要條件．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①：利用a，b，c的關(guān)系以及離心率公式求出e，同時再倒著推回來，如果能夠互相推出，則結(jié)論成立；
對于②：由①知，a，b，c成等比，據(jù)此進(jìn)一步推理，可以得到②成立；
對于③：由題意給出三個點的坐標(biāo)（注意關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標(biāo)），由此給出斜率之積，判斷其是否為定值；
對于④：設(shè)點法，給出點的坐標(biāo)，結(jié)合中點與P，Q兩點坐標(biāo)間的關(guān)系，容易推導(dǎo)出需要的結(jié)論；
對于⑤：實際上利用橢圓的幾何性質(zhì)，容易得到原點到菱形邊的距離，用a，b，c去表示，只要能夠得到a，b，c成等比即可．

解答： 解：對于①：若a，b，c成等比數(shù)列，則b²=ac，即a²-c²=ac，兩邊同除以a²得1-e²=e，解得e=

-1± 5

2

（負(fù)值舍去），故e=

-1+ 5

2

，反之若e=

-1+ 5

2

，則1-e²=e，即1-

c2

a2

=

c

a

，即a²-c²=ac，即b²=ac，故①為真命題；
對于②：橢圓是黃金橢圓，由（1）知，b²=ac，由題意F₂（c，0），B（0，b），A₁（-a，0），所以

BA1

•

BF2

=(-a，-b)•(c，-b)=b²-ac=0，即b²=ac．故②成立；
對于③：設(shè)E（x，y），F(xiàn)（-x，-y），P（m，n），則kPE=

n-y

m-x

，kPF=

n+y

m+x

，又

x2

a2

+

y2

b2

=1（1），

m2

a2

+

n2

b2

=1（2）
（2）-（1）式得

m2-x2

a2

+

n2-y2

b2

=0，化簡得

(m-x)(m+x)

a2

+

(n-y)(n+y)

b2

=0，即

(n-y)(n+y)

(m-x)(m+x)

=-

b2

a2

，即kPE•kPF=-

b2

a2

（定值），故③真命題；
對于④：設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），PQ中點為（m，n），則kPQ=

y1-y2

x1-x2

，kOM=

n

m

=

y1+y2 2

x1+x2 2

=

y1+y2

x1+x2

（*）
則

x12

a2

+

x22

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，兩式相減得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-

b2

a2

，結(jié)合（*）可知kPQ•kOM=-

b2

a2

（定值）故④是真命題；
對于⑤：設(shè)左頂點A（-a，0），上頂點B（0，b），則直線AB的方程為bx-ay+ab=0，由題意原點到直線AB的距離

ab

a2+b2

=c，即a²b²=a²c²+b²c²，
即（a²-c²）b²=a²c²，即b⁴=（ac）²，所以b²=ac，結(jié)合①可知，該橢圓是黃金橢圓，上面過程可逆推回去，所以是充要條件，故⑤真命題．
故答案為：①②③④⑤

點評：此題難度較大，作為一個填空題，綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，其中第③④個命題利用了坐標(biāo)法解決問題，要注意設(shè)而不求的解法．