Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax-lnx（x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，進(jìn)一步用函數(shù)的最值解決．
（2）求導(dǎo)后通分，得f′（x）=x-a-

1

x

=

x2-ax-1

x

，把分子構(gòu)造成二次函數(shù)處理．

解答： 解：（1）f′（x）=x-a-

1

x

，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴a≤x-

1

x

，x∈[1，+∞），∵x與-

1

x

在[1，+∞）都單調(diào)遞增，∴x-

1

x

在[1，+∞）也單調(diào)遞增，且最小值為0，
∴a≤0，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]．
（2）f′（x）=x-a-

1

x

=

x2-ax-1

x

，x＞0，
令t（x）=x²-ax-1，此拋物線開口向上且t（0）=-1＜0
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上存在極小值x₀，
則函數(shù)f（x）在（1，x₀）遞減，（x₀，2）遞增，
所以

t(1)＜0 t(2)＞0

⇒0＜a＜

3

2

，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，

3

2

)．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在研究導(dǎo)數(shù)的取值情況時(shí)，通常把導(dǎo)數(shù)的一部分看成我們常見的函數(shù)處理．屬于中檔題．