Question

3．如圖，BC為圓O的直徑，D為圓周上異于B、C的一點，AB垂直于圓O所在的平面，BE⊥AC于點E，BF⊥AD于點F．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACD；
（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，
①求直線BC與平面BEF所成的角
②求四面體BDEF的體積．

Answer 1

分析 對第（Ⅰ）問，由于BF⊥AD，要證BF⊥平面ACD，只需證BF⊥CD，故只需CD⊥平面ABD，由于CD⊥BD，只需CD⊥AB，由AB⊥平面BDC；
對第（Ⅱ）問，①判斷∠CBE為直線BC與平面BEF所成的角，即可求直線BC與平面BEF所成的角；
②四面體BDEF即三棱錐E-BDF，由CD⊥平面ABD及E為AC的中點知，三棱錐E-BDF的高等于$\frac{1}{2}CD$，在Rt△ABD中，根據(jù)BF⊥AD，設法求出S_△BDF，即得四面體BDEF的體積．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵BC為圓O的直徑，∴CD⊥BD，
∵AB⊥圓0所在的平面BCD，且CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
又AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD，
∵BF?平面ABD，∴CD⊥BF，
又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，
∴BF⊥平面ACD．
（Ⅱ）①∵BF⊥平面ACD，
∴BF⊥AC，
∵BE⊥AC，BE∩BF=B，
∴AC⊥平面BEF，
∴∠CBE為直線BC與平面BEF所成的角，
∴BE=EC，∴直線BC與平面BEF所成的角為45°；
②∵AB=BC=2，∠CBD=45°，∴BD=CD=$\sqrt{2}$，
∵BE⊥AC，∴E為AC的中點，
又CD⊥平面ABD，
∴E到平面BDF的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△ABD中，有AD=$\sqrt{6}$，
∵BF⊥AD，由射影定理得BD²=DF•AD，
則DF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，從而BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四面體BDEF的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}DF•BF•d$=$\frac{1}{9}$．

點評 1．本題考查了線面垂直的定義與性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是掌握線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化：“線線垂直”可由定義來實現(xiàn)，“線面垂直”可由判定定理來實現(xiàn)．
2．考查了三棱錐體積的計算，求解時，應尋找適當?shù)牡酌媾c高，使面積和高便于求解，面積可根據(jù)三角形形狀求解，高可轉(zhuǎn)化為距離的計算．