Question

18．已知$\overline a=（2\;，\;\;-1\;，\;\;3）$，$\overline b=（-1\;，\;\;4\;，\;\;-2）$，$\overline c=（7\;，\;\;5\;，\;\;λ）$．若$\overline a$，$\overline b$，$\overline c$共面，則$\overline c$在$\overline a$上的投影為$\frac{18\sqrt{14}}{7}$．

Answer 1

分析 三個(gè)空間向量共面，其充要條件為由它們組成的三階行列式的值為零．

解答 解：∵$\overline a=（2\;，\;\;-1\;，\;\;3）$，$\overline b=（-1\;，\;\;4\;，\;\;-2）$，$\overline c=（7\;，\;\;5\;，\;\;λ）$．$\overline a$，$\overline b$，$\overline c$共面，
∴$|\begin{array}{l}{2}&{-1}&{3}\\{-1}&{4}&{-2}\\{7}&{5}&{λ}\end{array}|$=8λ-15+14-84+20-λ=0，
解得λ=$\frac{65}{7}$，∴$\overrightarrow{c}$=（7，5，$\frac{65}{7}$），
∴$\overline c$在$\overline a$上的投影為：|$\overrightarrow{c}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{14-5+\frac{195}{7}}{\sqrt{4+1+9}}$=$\frac{18\sqrt{14}}{7}$．
故答案為：$\frac{18\sqrt{14}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量共面的性質(zhì)的合理運(yùn)用．