Question

【題目】在直角坐標(biāo)系x0y中，把曲線α為參數(shù))上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程

（1）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，求|MN|的最小值以及此時(shí)M的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為. （2）最小值為，此時(shí)

【解析】

（1）由的參數(shù)方程消去求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得的直角坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得最小值的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題意知的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

所以的普通方程為.由得，所以的直角坐標(biāo)方程為.

（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>是直線，所以的最小值即為到的距離，

因?yàn)?/span>．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為即．