10.已知冪函數(shù)f(x)=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$(m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=$\sqrt{f(x)}$+2x+c,若g(x)>2對任意的x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

分析 (1)利用冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得出.
(2)由(1)知f(x)=x4,則g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).由g(x)>2對任意的x∈R恒成立,可得:g(x)min>2,且x∈R,解出即可得出.

解答 解:(1)∵f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,解得-1<m<3.
又m∈Z,∴m=0,1,2,
而m=0,2時(shí),f(x)=x3不是偶函數(shù),m=1時(shí),f(x)=x4是偶函數(shù).
∴f(x)=x4
(2)由(1)知f(x)=x4,則g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).
∵g(x)>2對任意的x∈R恒成立,
∴g(x)min>2,且x∈R,則c-1>2,解得c>3.
故實(shí)數(shù)c的取值范圍是(3,+∞).

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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