Question

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，且對(duì)任意x＞0，都有f ′(x)＞．

（Ⅰ）判斷函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂∈(0，＋∞)，證明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；

（Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）中的結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．

Answer 1

 （Ⅰ）對(duì)F(x)求導(dǎo)數(shù)，得F′(x)＝．

∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，

∴F′(x)＞0．

 

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，

∴F(x₁)＜F (x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜．

∵x₁＞0，

∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)． 

同理可得