Question

已知f（x）=ax³+bx²+c的圖象經(jīng)過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=-2x+1
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用在x=1處的切線方程是y=-2x+1，建立方程，結(jié)合圖象經(jīng)過點（0，1），求出a，b，c，即可求y=f（x）的解析式；
（2）令導(dǎo)數(shù)大于0，即可求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，1），∴c=1，
f′（x）=3ax²+2bx，
∵在x=1處的切線方程是y=-2x+1，
∴f′（1）=3a+2b=-2，f（1）=a+b+c=-1，
∴a=2，b=-4，
∴f（x）=2x³-4x²+1；
（2）f'（x）=6x²-8x=2x（3x-4）＞0，可得x＜0或x＞

4

3

，
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（

4

3

，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．