Question

函數(shù)y=x+

1

x

，x∈（

1

2

，2]的值域?yàn)?div id="q2yjmu2" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,函數(shù)的值域

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）=x+

1

x

，x∈（

1

2

，2]，
∴f′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x2

，
∴當(dāng)x∈(

1

2

，1]時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（1）=2．
又f（2）=f(

1

2

)=

5

2

，∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?span id="r3gypiy" class="MathJye">[2，

5

2

]．
故答案為：[2，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于基礎(chǔ)題．