Question

定義域為R的函數(shù)f（x）=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

，若關于x的函數(shù)h（x）=f²（x）+bf（x）+

1

4

有5個不同的零點x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的表達式可對x分x=1與x≠1討論，由方程f²（x）+bf（x）+

1

4

=0分別求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，從而可求得則x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的值．

解答： 解：①若x=1，f（x）=1，故1²+b+

1

4

=0，b=-

5

4

；
②若x≠1，f（x）=

1

|1-x|

，方程f²（x）+bf（x）+

1

4

=0可化為（

1

|1-x|

-1）•（

1

|1-x|

-

1

4

）=0，
∴

1

|1-x|

=1或

1

|1-x|

=

1

4

，
解

1

|1-x|

=1得：x=0或x=2；解

1

|1-x|

=

1

4

得：x=-3或x=5；
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=1²+0²+2²+（-3）²+5²=39．
故答案為：39．

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，關鍵是通過對x分x=1與x≠1討論，由方程f²（x）+bf（x）+

1

4

=0分別求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，