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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川省達(dá)州市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆安徽省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意正整數(shù)n,都能使m整除f(n),猜測出最大的m的值。并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜測是正確的。
【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運(yùn)用,以及數(shù)學(xué)歸納法的證明。
∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除
然后證明n=1,2時(shí),由上得證,設(shè)n=k(k≥2)時(shí),
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,則n=k+1時(shí),
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2) 證明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除
證明 n=1,2時(shí),由上得證,設(shè)n=k(k≥2)時(shí),
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,則n=k+1時(shí),
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1?-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2?(k≥2) f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除,∴所求最大的m值等于36
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