Question

在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，且三邊的長為連續(xù)的自然數(shù)，且a=2ccosC，求sinA：sinB：sinC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：利用大角對大邊，根據(jù)三角大小關(guān)系判斷出三邊大小關(guān)系，再由三邊的長為連線的自然數(shù)得到a=b+1，c=b-1，利用余弦定理表示出cosC，代入已知等式，整理求出b的值，進(jìn)而求出a與c的值，得到三邊之比，利用正弦定理求出所求式子之比即可．

解答： 解：∵在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，
∴a＞b＞c，
∵三邊的長為連續(xù)自然數(shù)，
∴a=b+1，c=b-1，
∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

，a=2ccosC，
∴a=2c•

a2+b2-c2

2ab

=

c(a2+b2-c2)

ab

，
整理得：a²b-a²c=b²c-c³，
分解得：a²（b-c）=c（b+c）（b-c），
∵b≠c，b-c≠0，
∴a²=c（b+c），即（b+1）²=（b-1）（2b-1），
整理得：b²+2b+1=2b²-3b+1，即b（b-5）=0，
解得：b=5（b=0舍去），
∴a=6，c=4，
∵a：b：c=6：5：4，
∴由正弦定理得：sinA：sinB：sinC=6：5：4．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．