Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

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，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD，CE的中點，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊使二面 角D-AE-C的平面角大小為π-arctan2．
（1）求證：FG∥平面BCD；
（2）求異面直線GF與BD所成的角；
（3）求二面角A-BD-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間向量及應用

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明FG∥平面BCD；
（2）根據(jù)異面直線所成角的定義即可求異面直線GF與BD所成的角；
（3）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角A-BD-C的大小．

解答： 解（1）證明：取AB中點H，連接GH，F(xiàn)H，又G為AD中點，
∴GH∥BD，GH?平面BCD，BD?平面BCD，
∴GH∥面BCD，
同理可證  FH∥BC，F(xiàn)H∥平面BCD，
∴平面FHG∥平面BCD，GF?平面FHG，
∴GF∥平面BCD
（2）延長CE，過D作DO垂直直線EC于O，
易證DO⊥平面ABCE，AE⊥EC，AE⊥DE，
二面角D-AE-C的平面角大小為π-arctan2．
∴tan∠DEO=2，∵DE=

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，∴OE=1，DO=2
以O為原點，

OC

為y軸正方向建立坐標系O-xyz （圖略）
則D（0，0，2），A（2，1，0），E（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），
H（2，

3

2

，0），G（1，

1

2

，1），F(xiàn)（0，

3

2

，0）

GH

=(1，1，-1)，

GF

=(-1，1，-1)cos＜

GH

，

GF

＞=

GH • GF

| GH |•| GF |

=

1

3

∴異面直線GF與BD所成的角為arccos

1

3

（3）取DC中點P，易證OP⊥平面BCD，所以面BCD一個法向量為

OP

=(0，1，1)

AB

=（0，1，0），

BD

=（-2，-2，2），
設平面BDR的法向量為

n

=(x，y，z)則

-2x-2y+2z=0 y=0

，
取x=1，得y=0，z=1，得平面BDR的一個法向量為

n1

=(1，0，1)
∴cos＜

n1

，

OP

＞=

n1 • OP

| n1 |•| OP |

=

1

2

，
∴二面角A-BD-C的大小為120°．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判定，以及異面直線和二面角的求解，綜合考查學生的計算能力．