Question

已知函數(shù)y=f（x）在定義域[-1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．
（1）求證：對任意x₁、x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]•（x₁+x₂）≤0；
（2）若f（2-a²）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由x₂∈[-1，1]，可得-x₂∈[-1，1]，利用函數(shù)y=f（x）在定義域[-1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，即可證明結(jié)論；
（2）f（2-a²）＞0，等價于-1≤2-a²＜0，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：∵x₂∈[-1，1]，∴-x₂∈[-1，1]，
設(shè)x₁≤-x₂，則∵函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，
∴f（x₁）≥f（-x₂），
∵函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x₁）≥-f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）≥0，
∵x₁+x₂≤0，
∴[f（x₁）+f（x₂）]•（x₁+x₂）≤0；
（2）解：由題意f（0）=0，則
∵f（2-a²）＞0，
∴-1≤2-a²＜0，
∴-

3

≤a＜

2

或

2

＜a≤

3

．

點評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．