Question

已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

  （3）證明： ，對任意的正整數(shù)成立.

Answer 1

【解析】（1）因?yàn)?sub>  …（1分）

①當(dāng)時(shí)，令得；得_，

      此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是  …………………（2分）

②當(dāng)時(shí)，令得或；得

      此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是  …………………（3分）

③當(dāng)時(shí)，對任意恒成立，

     此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間  …………………（4分）

④當(dāng)時(shí)，令得或；得

     此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是 .  …………………（5分）

   （2）由于，顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，對定義域內(nèi)的任意   

不是恒成立的；當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）函數(shù)在區(qū)間上的極小值（也是最小值）  

是，此時(shí)只要即可，解得，故實(shí)數(shù)的了取值范圍是

.   …………………（9分）

（3）當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）則，當(dāng)時(shí)，此不等式可以變形為，分別令，則：

   故  .