Question

已知等差數(shù)列前三項為a，4，3a，前n項的和為S_n，S_k=2550．
（1）求a及k的值；   
（2）求證

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合給出的前三項列式求得a的值，則公差可求，代入等差數(shù)列的前k項和得答案；
（2）直接利用裂項相消法求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的和，然后放縮證得數(shù)列不等式．

解答： （1）解：設(shè)該等差數(shù)列為{a_n}，
則a₁=a，a₂=4，a₃=3a，
由已知有a+3a=2×4，解得a₁=a=2，公差d=a₂-a₁=2，
將S_k=2550代入公式Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，得k=50，k=-51（舍去）
∴a=2，k=50；
（2）證明：由 Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
得 S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．

點評：本題考查了數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．