Question

已知A（1，0）、B（-2，0），動點(diǎn)M滿足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若直線l：y=k（x+7），且軌跡E上存在不同的兩點(diǎn)C、D關(guān)于直線l對稱，求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）如何體現(xiàn)動點(diǎn)M滿足的條件∠MBA=2∠MAB是解決本題的關(guān)鍵．用動點(diǎn)M的坐標(biāo)體現(xiàn)∠MBA=2∠MAB的最佳載體是直線MA、MB的斜率．
（2）先設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．由點(diǎn)差法有y₀=-3kx₀．又y₀=k（x₀+7），考的x₀=-

7

4

，y₀=

21

4

k，即可求直線l斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得

|y|

x+2

=

2× |y| 1-x

1-( |y| 1-x )2

，
化簡得3x²-y²=3，
當(dāng)∠MBA=

π

2

時(shí)也滿足．
顯然，動點(diǎn)M在線段AB的中垂線的左側(cè)，且∠MAB≠0，
故軌跡E的方程為 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．
由點(diǎn)差法有y₀=-3kx₀．
又y₀=k（x₀+7），∴x₀=-

7

4

，y₀=

21

4

k，由3×(-

7

4

)2-（

21

4

k）²＞3，得-

11

7

＜k＜

11

7

　
又當(dāng)直線CD過點(diǎn)（-1，0）時(shí)，k=±

7

7

故k的取值范圍是-

11

7

＜k＜

11

7

且k≠±

7

7

．

點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題主要用直接法，直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程．