Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若

m

=（c，cosC），

n

=（a，sinA），且

m

∥

n

．
（1）求角C的大�。�
（2）求

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值，并求取最大值時(shí)角A，B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用正弦定理，求出C的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，把三角函數(shù)式化為一個(gè)角的三角函數(shù)，求出最值以及對(duì)應(yīng)的角度來(lái)．

解答： 解：（1）∵

m

=（c，cosC），

n

=（a，sinA），且

m

∥

n

，
∴csinA-acosC=0，
由正弦定理得，sinCsinA-sinAcosC=0；
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0，
∴sinC-cosC=0，
又cosC≠0，
∴tanC=1，
∴C=

π

4

；
（2）由（1）知，B=

3

4

π-A，
∴

3

sinA-cos（B+

π

4

）=

3

sinA-cos（π-A）
=

3

sinA+cosA
=2sin（A+

π

6

）；
∵0＜A＜

3π

4

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

；
∴當(dāng)A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時(shí)，
2sin（A+

π

6

）取最大值2；
綜上所述，

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值為2，此時(shí)A=

π

3

，B=

5π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與恒等變換問(wèn)題，是綜合題目．