Question

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，S₃=6，且滿足a₃-a₁，2a₂，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an•an+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接由已知條件列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解后得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)代入b_n=

1

an•an+2

，由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由S₃=6，a₃-a₁，2a₂，a₈成等比數(shù)列，得

3a1+3d=6 4(a1+d)2=2d(a1+7d)

，即

a1+d=2 2a12+3a1d-5d2=0

，
解得：

a1= 10 3 d=- 4 3

或

a1=1 d=1

．
∵d＞0，
∴

a1=1 d=1

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+1×（n-1）=n；
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．