Question

已知函數(shù)f(x)=loga

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（I）由

x+1

x-1

＞0能夠得到原函數(shù)的定義域．
（II）求出f（-x）和f（x）進行比較，二者互為相反數(shù)，所以F（x）是奇函數(shù)．
（III）由f（x）＞0，即loga

1+x

x-1

＞0．分類討論：當a＞1時；當0＜a＜1時，分別求解，最后綜合即得．

解答：解：（I）∵

1+x

x-1

＞0∴{，

1+x＞0 x-1＞0

或{，

1+x＜0 x-1＜0

，∴定義域為x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．（4分）
（II）∵f(-x)=loga

x-1

1+x

=-loga

x+1

x-1

=-f(x)，∴f（x）為奇函數(shù)．
（III）f（x）＞0，即loga

1+x

x-1

＞0．當a＞1時，

1+x

x-1

＞1，∴x＞1；
當0＜a＜1時，0＜

1+x

x-1

＜1，∴x＜-1；
∴當a＞1時，x∈（1，+∞）；當0＜a＜1時，∴x∈（-∞，-1）．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應用，解題時要注意對數(shù)函數(shù)的不等式．