Question

給出定義：若m-

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＜x≤m+

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，其中m∈Z，則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上有函數(shù)f（x）=|x-{x}|，（x∈R）．
（1）求{4}，{-

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}，{-8.3}的值；
（2）求f（4），f（-

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），f（-8.3）的值；
（3）對于函數(shù)f（x），現(xiàn)給出如下一些判斷：
①函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；②函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-

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，

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]上單調(diào)遞增；④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=k+

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，（k∈z）對稱．
請你將以上四個判斷中正確的結(jié)論全部選擇出來，并選擇其中一個加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)-

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＜x≤m+

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，其中m∈Z，則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m
求解即可．（2）代入f（x）=|x-{x}|，（x∈R）．求解出函數(shù)值．（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)的定義式判斷證明

解答： 解：（1）若m-

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＜x≤m+

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，其中m∈Z，則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m
{4}=4，{-

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}=-1，{-8.3}=-8，
（2）函數(shù)f（x）=|x-{x}|，（x∈R）．
f（4）=|4-4|=0，
f（-

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）=|-

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-（-1）|=

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，
f（-8.3）=|-8，3-（-8）|=0.3
判斷  ①②④正確
證①：當(dāng)x∈(m-

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，m+

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)，m∈Z時，-x∈(-m-

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，-m+

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)，∴{x}=m，{-x}=-m，
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f（x）；
當(dāng)x=m+

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，m∈Z時，f(x)=f(-x)=

1

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，故函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)．
證②：對任意x∈(m-

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，m+

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]，x+1∈(m+1-

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，m+1+

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]，∴{x+1}=m+1，
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-{x}|=f（x），
故函數(shù)y=f（x）是以1為周期的周期函數(shù)．
證④：∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x），
又函數(shù)y=f（x）是以1為周期的周期函數(shù)，即f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=f（-x）
f(

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+x)=f(

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-x)
f(k+

1

2

+x)=f(k+

1

2

-x)，
故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=k+

1

2

&(k∈Z)

對稱．

點評：本題是一道典型的創(chuàng)新題，難度不大，但是必須仔細(xì)閱讀理解，才能能夠做出．