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【題目】已知正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 1 ， E 、F 分別是棱 AB 、BC上的動點 ，且AE = BF .求直線 A1E 與C1F 所成角的最小值（用反三角函數表示）.

【答案】

【解析】

解法 1 ：如圖， 延長 DC 到點 G， 使得 CG = AE ， 聯 結C1G 、FG.

由題意知，A1E ∥ C1G， A1E 到C1F 所 成 的 角 等 于∠FC1G .

令 AE = CG = x（0≤x≤1）， 則有CF =1 - x ， C1G =，

.

在△C1FG 中， 由余弦定理得

.

∠FC1G 取得最小值就是取得最大值， 亦即取得最小值.

利用等式，

得.

所以，當時，取得最小值.

因此，，即.

故 A1E 與 C1F 所成的最小角為，此時， E 、F 分別為棱AB 、BC 的中點.

解法 2：前面同上， 得到.

則

.

令，得.

所以， 當時，取最小值.

以下與解法 1 同.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）當時，討論函數與的圖象的交點個數.

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【題目】“互聯網”是“智慧城市”的重要內士，市在智慧城市的建設中，為方便市民使用互聯網，在主城區(qū)覆蓋了免費．為了解免費在市的使用情況，調査機構借助網絡進行了問卷調查，并從參與調査的網友中抽取了人進行抽樣分析，得到如下列聯表(單位：人)：

經常使用免費WiFi

偶爾或不用免費WiFi

合計

45歲及以下

70

30

100

45歲以上

60

40

100

合計

130

70

200

（1）根據以上數據，判斷是否有的把握認為市使用免費的情況與年齡有關；

（2）將頻率視為概率，現從該市歲以上的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取人，共抽取次．記被抽取的人中“偶爾或不用免費”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列，數學期望和方差．

附：，其中．

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（），其中為自然對數的底數．

（1）討論函數的單調性；

（2）已知， 為整數，若對任意，都有恒成立，求的最大值．

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【題目】某高校大一新生中的6名同學打算參加學校組織的“演講團”、“吉他協會”等五個社團，若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這6個人中沒有人參加“演講團”的不同參加方法數為（ ）

A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設等差數列滿足，，

（1）求數列的通項公式；

（2）求的最大項的值；

（3）數列滿足，問是否存在正整數k，使得成等差數列？若存在，求出k和m的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】在直角坐標系xOy中，直線經過點，傾斜角，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線．

（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程并寫出直線l的參數方程；

（Ⅱ）直線l與曲線C的交點為A，B，求點P到A、B兩點的距離之積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在軸同側的兩個圓：動圓和圓外切（），且動圓與軸相切.求

（1）動圓的圓心軌跡方程；

（2）若直線與曲線有且僅有一個公共點，求和的值.

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【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面平面，分別是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）若是線段上一點，求三棱錐的體積.

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