已知橢圓
的左右焦點分別是
,離心率
,
為橢圓上任一點,且
的最大面積為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)設斜率為
的直線
交橢圓
于
兩點,且以
為直徑的圓恒過原點
,若實數(shù)
滿足條件
,求
的最大值.
試題分析:(Ⅰ)依題意得:
,這是一個關(guān)于
的方程組,解這個方程組便可得
的值,從而得橢圓
的方程.
(Ⅱ)設
,由于以
為直徑的圓恒過原點
,所以
,即
……………………………………………………①
設直線
的方程
,聯(lián)立方程組
,再由根與系數(shù)的關(guān)系可得:
、
,代入①便得一個含
的等式.
將
變形化簡得:
.
因此,要求
的最大值,只需求
的最大值,而
可以用含
的式子表示出來,再利用前面含
的等式換掉一個變量,得一個只含一個變量的式子,再利用求函數(shù)最值的方法,便可求出其最大值.
試題解析:(Ⅰ)依題意得:
,解得:
,
于是:橢圓
的方程
,
(Ⅱ)設直線
的方程
由
得:
,
設
,則
.
由于以
為直徑的圓恒過原點
,于是
,即
,
又
,
于是:
,即
依題意有:
,即
.
化簡得:
.
因此,要求
的最大值,只需求
的最大值,下面開始求
的最大值:
.
點
到直線
的距離
,于是:
.
又因為
,所以
,
代入得
.
令
,
于是:
.
當
即
,即
時,
取最大值,且最大值為
.
于是:
的最大值為
.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知頂點在原點,焦點在
軸上的拋物線被直線
截得的弦長為
,求拋物線的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設拋物線
的焦點為
,準線為
,
,以
為圓心的圓
與
相切于點
,
的縱坐標為
,
是圓
與
軸除
外的另一個交點.
(I)求拋物線
與圓
的方程;
(II)過
且斜率為
的直線
與
交于
兩點,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線
與雙曲線
有公共焦點
,點
是曲線
在第一象限的交點,且
.
(Ⅰ)求雙曲線
的方程;
(Ⅱ)以雙曲線
的另一焦點
為圓心的圓
與直線
相切,圓
:
.過點
作互相垂直且分別與圓
、圓
相交的直線
和
,設
被圓
截得的弦長為
,
被圓
截得的弦長為
,問:
是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C長軸的兩個頂點為A(-2,0),B(2,0),且其離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若N是直線x=2上不同于點B的任意一點,直線AN與橢圓C交于點Q,設直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點為M(異于點B),求證:直線NM經(jīng)過定點.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
過拋物線
的焦點
的直線交拋物線于
兩點,點
是坐標原點,若
,則△
的面積為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
點
是雙曲線
與圓
的一個交點,且
,其中
分別為雙曲線C
1的左右焦點,則雙曲線
的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(13分)已知橢圓C:
(a>b>0)的兩個焦點分別為F
1(﹣1,0),F(xiàn)
2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點
.
(I)求橢圓C的離心率:
(II)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且
,求點Q的軌跡方程.
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