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【題目】已知圓，圓，動圓與圓內切并且與圓外切，圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）已知曲線與軸交于兩點，過動點的直線與交于 (不垂直軸)，過作直線交于點且交軸于點，若構成以為頂點的等腰三角形，證明：直線， 的斜率之積為定值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）圓與圓外切且與圓內切，所以，橢圓的定義可知，曲線是以， 為左、右焦點，長半軸長為3，短半軸長為的橢圓(右頂點除外)，進而得橢圓方程；

（Ⅱ）設直線的方程為， ， ，與橢圓聯立得，若構成以為頂點的等腰三角形，則，得，結合韋達定理得，由即可得解.

試題解析：

（Ⅰ）由已知得圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.

設圓的圓心為，半徑為.

因為圓與圓外切且與圓內切，

所以，

由橢圓的定義可知，曲線是以， 為左、右焦點，長半軸長為3，短半軸長為的橢圓(右頂點除外)，

其方程為.

（Ⅱ）設直線的方程為， ， ，

聯立方程組消去，得，

由根與系數關系，得

若構成以為頂點的等腰三角形，則，

即.

設，則，即，

,

化簡得，

所以為定值.

練習冊系列答案
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