Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x-m

，若存在α∈（0，

π

2

），使f（sinα）+f（cosα）=0，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用f（sinα）+f（cosα）=0，可得2m=sinα+cosα，利用輔助角公式化簡，結(jié)合角的范圍，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（sinα）+f（cosα）=0，
∴

1

sinα-m

=-

1

cosα-m

，
∴sinα-m=m-cosα，
即2m=sinα+cosα
則2m=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）
∵α∈（0，

π

2

），
∴α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1]，

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，
∴2m∈（1，

2

]，
∴m∈（

1

2

，

2

2

]
故答案為：（

1

2

，

2

2

]

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，考查三角函數(shù)知識，考查學(xué)生的計算能力，正確運用輔助角公式是關(guān)鍵．