【題目】我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異�！币馑际牵簝蓚�等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.給出以下四個幾何體：

① ② ③ ④

圖①是底面直徑和高均為的圓錐；

圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；

圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；

圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺挖掉一個底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.

根據(jù)祖暅原理，以上四個幾何體中與的體積相等的是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④

【答案】A

【解析】

將題目中的切線寫出來，然后表示出水平截面的面積，因為是陰影部分旋轉(zhuǎn)得到，所以水平界面面積為環(huán)形面積，整理后，與其他四個幾何體進行比較，找到等高處的水平截面的面積相等的，即為所求.

幾何體是由陰影旋轉(zhuǎn)得到，所以橫截面為環(huán)形，

且等高的時候，拋物線對應(yīng)的點的橫坐標為，切線對應(yīng)的橫坐標為

，

切線為，即，

橫截面面積

圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，可以看成由直線繞軸旋轉(zhuǎn)得到

橫截面的面積為.

所以幾何體和①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，

故選A項.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列中，，，.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；

（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點列在某一直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（I）若在處取得極值，求過點且與在處的切線平行的直線方程；

（II）當(dāng)函數(shù)有兩個極值點，且時，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計如下：

每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件）

頻數(shù)

10

45

35

6

4

男員工人數(shù)

7

23

18

1

1

（1）其中每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)不少于3200件的員工被評為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？

非“生產(chǎn)能手”

“生產(chǎn)能手”

合計

男員工

女員工

合計

（2）為提高員工勞動的積極性，工廠實行累進計件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以內(nèi)的，計件單價為1元；超出件的部分，累進計件單價為1.2元；超出件的部分，累進計件單價為1.3元；超出400件以上的部分，累進計件單價為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機選取2人進行工資調(diào)查，設(shè)實得計件工資（實得計件工資=定額計件工資+超定額計件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：，

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：實數(shù)x滿足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命題q：實數(shù)x滿足≥0．

（Ⅰ）若a=1，p，q都為真命題，求x的取值范圍；

（Ⅱ）若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是拋物線上的一點，拋物線在點處的切線方程為.

（1）求的方程；

（2）已知過點的兩條不重合直線，的斜率之積為，且直線，分別交拋物線于，兩點和，兩點.是否存在常數(shù)使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，等腰梯形中,,為的三等分點，以為折痕把△折起，使點 到達點的位置，且與平面所成角的正切值為．

（1）證明:平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：

分組（重量）

頻數(shù)（個）

5

10

20

15

(1) 根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在的頻率；

(2) 用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個，其中重量在的有幾個？

(3) 在（2）中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在和中各有1個的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，試判斷的零點個數(shù).

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同步練習(xí)冊答案