【題目】如圖，三棱錐中，是等邊三角形，是線段的中點，是線段上靠近的四等分點，平面平面.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點為，連接，由是等邊三角形，可得，，結(jié)合平面平面，易證平面，從而可證明結(jié)論；

（2）連接，易知，，兩兩垂直，以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后分別求出平面、的法向量，設(shè)二面角為，則，可求出答案.

（1）如圖，取的中點為，連接.

因為是等邊三角形，所以.

由題意知，從而.

因為平面平面，平面平面，，

所以平面.

又平面，所以.

（2）如圖，連接.

因為，所以.

又平面平面，平面平面，，

所以平面.所以，，兩兩垂直.

分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為，為等邊三角形，

所以，所以，，，

從而，.

設(shè)平面的法向量.

由，得，即.可取.

取平面的一個法向量.

設(shè)二面角為，則.

由題意可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

（1）若的面積，求a+c值；

（2）若2cosC（+）=c2，求角C．

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）的極值．

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【題目】已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.

（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？

（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應(yīng)的面積.

（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計算的第一種可能計分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟，我國政府從2001年起就通過相關(guān)政策推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產(chǎn)業(yè)發(fā)展的相關(guān)信息:

中國新能源汽車產(chǎn)銷情況一覽表

新能源汽車生產(chǎn)情況

新能源汽車銷售情況

產(chǎn)品(萬輛)

比上年同期
增長(%)

銷量(萬輛)

比上年同期
增長(%)

2018年3月

6.8

105

6.8

117.4

4月

8.1

117.7

8.2

138.4

5月

9.6

85.6

10.2

125.6

6月

8.6

31.7

8.4

42.9

7月

9

53.6

8.4

47.7

8月

9.9

39

10.1

49.5

9月

12.7

64.4

12.1

54.8

10月

14.6

58.1

13.8

51

11月

17.3

36.9

16.9

37.6

1-12月

127

59.9

125.6

61.7

2019年1月

9.1

113

9.6

138

2月

5.9

50.9

5.3

53.6

根據(jù)上述圖表信息，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A.2017年3月份我國新能源汽車的產(chǎn)量不超過萬輛

B.2017年我國新能源汽車總銷量超過萬輛

C.2018年8月份我國新能源汽車的銷量高于產(chǎn)量

D.2019年1月份我國插電式混合動力汽車的銷量低于萬輛

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且與交于，兩點，已知點的極坐標為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程，并求的值；

（2）若矩形內(nèi)接于曲線且四邊與坐標軸平行，求其周長的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線過點，傾斜角為，在以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的方程為.

（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，設(shè)點,求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，底面是邊長為6的正三角形，底面，且與底面所成的角為．

（1）求三棱錐的體積；

（2）若是的中點，求異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售.已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有或者兩種可能，兩種可能對應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢.現(xiàn)處理價格為每箱8400元，遇到廢品不予更換.以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù).

（1）在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；

（2）現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取2件產(chǎn)品進行檢驗.

①若此箱出現(xiàn)的廢品率為，記抽到的廢品數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；

②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買.

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