Question

已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a處取到極小值，則實數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)函數(shù)導數(shù)的定義和性質(zhì)即可得到結論．

解答： 解：由f′（x）=a（x+1）（x-a）=0，
解得a=0或x=-1或x=a，
若a=0，則f′（x）=0，此時函數(shù)f（x）為常數(shù)，沒有極值，故a≠0．
若a=-1，則f′（x）=-（x+1）²≤0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，沒有極值，故a≠-1．
若a＜-1，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得a＜x＜-1此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得x＜a或x＞-1此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在x=a處取到極小值，滿足條件．
若-1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得-1＜x＜a此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得x＜-1或x＞a，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在x=a處取到極大值，不滿足條件．
若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得x＜-1或x＞a此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得-1＜x＜a，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在x=a處取到極小值，滿足條件．
綜上：a＜-1或a＞0，
故答案為：a＜-1或a＞0

點評：本題主要考查導數(shù)和極值的關系，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關鍵．