Question

從裝有n+1個球（其中n個白球，1個黑球）的口袋中取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），共有

C

m n+1

種取法．在這

C

m n+1

種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個球全部為白球，共有C

0 1

•C

m n

+C

1 1

•C

m-1 n

=C

0 1

•C

m n+1

，即有等式：C

m n

+C

m-1 n

=C

m n+1

成立．試根據上述思想化簡下列式子：C

m n

+C

1 k

•C

m-1 n

+C

2 k

•C

m-2 n

+…+C

k k

•C

m-k n

=

 

（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）．

Answer 1

考點：組合及組合數公式

專題：排列組合

分析：從裝有n+1個球（其中n個白球，1個黑球）的口袋中取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m種取法．在這C_n+1^m種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個球全部為白球，另一類是，取出1個黑球，m-1個白球，則C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m根據上述思想，在式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，從第一項到最后一項分別表示：從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況取法總數的和，故答案應為：從從裝有n+k球中取出m個球的不同取法數，根據排列組合公式，易得答案．

解答： 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
從第一項到最后一項分別表示：
從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，
取出m個球的所有情況取法總數的和，
故答案應為：從從裝有n+k球中取出m個球的不同取法數C_n+k^m
故答案為：C_n+k^m．

點評：本題考查了推理和排列組合，處理本題的關鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項所表示的含義，再結合已知條件進行分析，最后給出正確的答案．