Question

已知圓C的一般方程為：x²+y²-2x+2y-2=0
（1）過點(diǎn)P（3，4）作圓C的切線，求切線方程；
（2）直線l在x，y軸上的截距相等，且l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，弦長|AB|=2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）把圓C的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，分當(dāng)斜率k不存在時和當(dāng)斜率k存在時兩種情況，分別根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，求出圓的方程，綜合可得結(jié)論．
（2）由題意可得，弦心距d=1，再分直線經(jīng)過原點(diǎn)和直線不經(jīng)過原點(diǎn)兩種情況，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得截距a的值，可得直線l的方程．

解答： 解：（1）圓C的一般方程為：x²+y²-2x+2y-2=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y+1）²=4．
當(dāng)斜率k不存在時，圓的切線的方程為x=3．
當(dāng)斜率k存在時，設(shè)切線的方程為：y-4=k（x-3），化成一般式為kx-y+4-3k=0，
圓心（1，-1）到直線kx-y+4-3k=0的距離為d=

|5-2k|

k2+1

=r=2，解得，k=

21

20

．
所以直線l的方程為：21x-20y+17=0．
綜上得：直線l的方程為：x=3或21x-20y+17=0．
（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為：y=kx，化成一般式為：kx-y=0．
∵弦長|AB|=2

3

，所以圓心（1，-1）到kx-y=0的距離d=1，則d=

|k+1|

k2+1

=1，
解得k=0，所以直線方程為：y=0（舍去）．
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為：

x

a

+

y

a

=1，化成一般式為：x+y-a=0，
所以，d=

|a|

2

=1，解得：a=±

2

，所以直線l方程為：x+y±

2

=0．
綜上得：直線l的方程為：x+y±

2

=0．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．