如圖,矩形A1A2A′2A′1,滿足B、C在A1A2上,B1、C1在A′1A′2上,且BB1∥CC1∥A1A′1,A1B=CA2=2,BC=2
2
,A1A′1=λ,沿BB1、CC1將矩形A1A2A′2A′1折起成為一個直三棱柱,使A1與A2、A′1與A′2重合后分別記為D、D1,在直三棱柱DBC-D1B1C1中,點M、N分別為D1B和B1C1的中點.

(Ⅰ)證明:MN∥平面DD1C1C;
(Ⅱ)若二面角D1-MN-C為直二面角,求λ的值.
分析:(Ⅰ)連結(jié)DB1、DC1,根據(jù)矩形的幾何特征,可得M為DB1的中點,由三角形中位線定理,可得MN∥DC1,進而由線面平行的判定定理得到MN∥平面DD1C1C;
(Ⅱ)以DB、DC、DD1所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標系,由二面角D1-MN-C為直二面角,可得平面D1MN的法向量
m
與平面MNC的法向量
n
垂直,進而由向量垂直的充要條件,可得λ的值.
解答:證明:(Ⅰ)連結(jié)DB1、DC1
∵四邊形DBB1D1為矩形,M為D1B的中點 …(2分)
∴M是DB1與D1B的交點,且M為DB1的中點
∴MN∥DC1,
又∵MN?平面DD1C1C,DC1?平面DD1C1C
∴MN∥平面DD1C1C                          …(4分)
解:(Ⅱ)四邊形A1A2A′2A′1為矩形,B,C在A1A2上,B1,C1在A′1A′2上,
且BB1∥CC1∥A1A1',A1B=CA2=2,BC=2
2
,
∴∠BDC=90°                                        …(6分)
以DB、DC、DD1所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標系,則
D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,λ),B1(2,0,λ),C1(0,2,λ)
點M、N分別為D1B和B1C1的中點,
M(1,0,
λ
2
),N(1,1,λ)

設(shè)平面D1MN的法向量為
m
=(x,y,z),
(x,y,z)•(1,-2,
λ
2
)=0
(x,y,z)•(1,-1,λ)=0
x-2y+
λz
2
=0
x-y+λz=0
,
令x=1得:
m
=(1,-1,
2
λ
)
…(8分)
設(shè)平面MNC的法向量為
n
=(x,y,z),
(x,y,z)•(1,-1,
λ
2
)=0
(x,y,z)•(1,-1,λ)=0
x-y+
λz
2
=0
x-y+λz=0
,
令z=1得:x=-
2
,y=-
λ
2

n
=(-
2
,-
λ
2
,1)
…(10分)
∵二面角D1-MN-C為直二面角
m
n
,
m
n
=-
2
+
λ
2
+
2
λ
=0

解得:λ=
2

∴二面角D1-MN-C為直二面角時,λ=
2
.     …(12分)
點評:本題考查的知識點是線面平行的判定定理,二面角的平面角及求法,解答(I)的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的充要條件,解答(II)的關(guān)鍵是建立空間坐標系,將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
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如圖,矩形A1A2A′2A′1,滿足B、C在A1A2上,B1、C1在A′1A′2上,且BB1∥CC1∥A1A′1,A1B=CA2=2,BC=2,A1A′1=,沿BB1、CC1將矩形A1A2A′2A′1折起成為一個直三棱柱,使A1與A2、A′1與A′2重合后分別記為D、D1,在直三棱柱DBC-D1B1C1中,點M、N分別為D1B和B1C1的中點.

(I)證明:MN∥平面DD1C1C;

(Ⅱ)若二面角D1-MN-C為直二面角,求的值.

 

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