如圖,矩形A1A2A′2A′1,滿足B、C在A1A2上,B1、C1在A′1A′2上,且BB1∥CC1∥A1A′1,A1B=CA2=2,BC=2,A1A′1=,沿BB1、CC1將矩形A1A2A′2A′1折起成為一個直三棱柱,使A1與A2、A′1與A′2重合后分別記為D、D1,在直三棱柱DBC-D1B1C1中,點M、N分別為D1B和B1C1的中點.
(I)證明:MN∥平面DD1C1C;
(Ⅱ)若二面角D1-MN-C為直二面角,求的值.
(1)要證明線面平行,只要通過線線平行來加以證明即可。
(2)
【解析】
試題分析:解:(Ⅰ)證:連結DB1 、DC1 ∵四邊形DBB1D1為矩形,M為D1B的中點 2分
∴M是DB1與D1B的交點,且M為DB1的中點
∴MN∥DC1,∴MN∥平面DD1C1C 4分
(Ⅱ)解:四邊形為矩形,B.C在A1A2上,B1.C1在上,
且BB1∥CC1∥,A1B = CA2 = 2,,
∴∠BDC = 90° 6分
以DB、DC、DD1所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標系,則
D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,),B1(2,0,),C1(0,2,)
點M、N分別為D1B和B1C1的中點,∴
設平面D1MN的法向量為m = (x,y,z),則
,
令x = 1得:
即 8分
設平面MNC的法向量為n = (x,y,z),則
,令z = 1得:
即 10分
∵二面角D1-MN-C為直二面角 ∴m⊥n,故,解得:
∴二面角D1-MN-C為直二面角時,. 12分
考點:線面平行,二面角的平面角
點評:解決的關鍵是根據已知條件熟練的根據判定定理證明,同時,建立空間直角坐標系,然后借助于向量的知識來得到二面角的平面角的表示,屬于基礎題。
科目:高中數學 來源: 題型:
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