Question

如圖，矩形A₁A₂A′₂A′₁，滿足B、C在A₁A₂上，B₁、C₁在A′₁A′₂上，且BB₁∥CC₁∥A₁A′₁，A₁B=CA₂=2，BC=2，A₁A′₁=，沿BB₁、CC₁將矩形A₁A₂A′₂A′₁折起成為一個直三棱柱，使A₁與A₂、A′₁與A′₂重合后分別記為D、D₁，在直三棱柱DBC-D₁B₁C₁中，點M、N分別為D₁B和B₁C₁的中點．

(I)證明：MN∥平面DD₁C₁C；

(Ⅱ)若二面角D_1-MN-C為直二面角，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）要證明線面平行，只要通過線線平行來加以證明即可。

（2）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）證：連結DB₁ 、DC₁ ∵四邊形DBB₁D₁為矩形，M為D₁B的中點   2分

∴M是DB₁與D₁B的交點，且M為DB₁的中點

∴MN∥DC₁，∴MN∥平面DD₁C₁C                              4分

（Ⅱ）解：四邊形為矩形，B.C在A₁A₂上，B₁.C₁在上，

且BB₁∥CC₁∥，A₁B = CA₂ = 2，，

∴∠BDC = 90°                                            6分

以DB、DC、DD₁所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標系，則

D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，)，B₁(2，0，)，C₁(0，2，)

點M、N分別為D₁B和B₁C₁的中點，∴

設平面D₁MN的法向量為m = (x，y，z)，則

，

令x = 1得：

即                                             8分

設平面MNC的法向量為n = (x，y，z)，則

，令z = 1得：

即                                         10分

∵二面角D₁－MN－C為直二面角    ∴m⊥n，故，解得：

∴二面角D₁－MN－C為直二面角時，．         12分

考點：線面平行，二面角的平面角

點評：解決的關鍵是根據已知條件熟練的根據判定定理證明，同時，建立空間直角坐標系，然后借助于向量的知識來得到二面角的平面角的表示，屬于基礎題。