Question

將底邊BC長為6

5

，腰長AB為 9的等腰三角形沿DE折疊成二面角為120°的空間圖形，且AD=AE=3．
（1）求證：AP⊥BC；
（2）求二面角P-BD-E的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）通過折疊問題把平面問題空間化，進一步利用等腰三角形的性質(zhì)求出線線垂直，最后證明面面垂直．
（2）根據(jù)第一步的結(jié)論，先作出二面角的平面角，最后利用比例關(guān)系求出相關(guān)的線段長，最后求出結(jié)果．

解答： 證明：（1）連接AP，作△ABC中線AM交DE于F，
再連接PF，由等腰三角形的性質(zhì)知：
DE⊥AF，DE⊥PF，所以
DE⊥面APF，
于是DE⊥AP，又由題知顯然
DE∥BC，
所以AP⊥BC 
解：（2）過P作PO⊥AM于O，
由（1）知：DE⊥PO，
所以：PO⊥平面ABC，
過O作ON⊥AB于N，
連接PN，則：AB⊥平面PON，
從而得到：AB⊥PN，
所以：∠PNO即為所求二面角的平面角；
由BC=6

5

，AB=9，且AD=AE=3得：
AM=6，AF=PF=2，∠PFO=60°，
故FO=AO=1，PO=

3

，
根據(jù)

ON

OA

=

BM

BA

，
解得：ON=

3 5

9

，
所以：tan∠PNO=

PO

ON

=

3 15

5

，
即二面角的正切值為

3 15

5

．

點評：本題考查的知識點：，折疊問題中平面圖形向空間圖形之間的轉(zhuǎn)化，線面垂直的判定定理，二面角的做法與求值問題，屬于基礎(chǔ)題型．